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03. Predictive Statistical Models

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03. Predictive Statistical Models

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Indice

Obiettivo del Modulo

Definizione

I modelli statistici predittivi sono metodi che stimano valori futuri a partire da dati storici, spesso organizzati come serie temporali.

In pratica: l’obiettivo e trasformare una sequenza di osservazioni passate, per esempio vendite mensili, traffico o passeggeri, in una previsione ragionata dei prossimi periodi.

Nel contesto di Operational Analytics, questi modelli servono per supportare decisioni operative: pianificazione scorte, capacita produttiva, turni, budget e valutazione del rischio.

Note

Una previsione non e mai una certezza: un buon modello deve produrre valori plausibili, errori misurabili e, quando possibile, intervalli di previsione.

Serie Storiche e Stazionarieta

Definizione

Una serie storica e una sequenza di osservazioni ordinate nel tempo. Una serie e stazionaria quando le sue proprieta principali, come media e varianza, restano ragionevolmente costanti nel tempo.

In pratica: molti modelli classici funzionano bene solo se la serie non cambia comportamento in modo sistematico. Se le vendite crescono ogni anno, il modello rischia di confondere il trend con una dipendenza tra osservazioni vicine.

Per rendere una serie piu stazionaria si usano spesso trasformazioni:

  • log transform: riduce variazioni proporzionali e stabilizza la varianza.
  • differencing: sostituisce il valore con la differenza rispetto al periodo precedente.
  • seasonal differencing: sottrae il valore dello stesso periodo nella stagione precedente, per esempio t - 12 in dati mensili.

Esempio

Se il numero di passeggeri cresce ogni anno e ha picchi estivi, si puo usare log, poi differenza mensile, poi differenza stagionale a 12 mesi. Il modello lavora sulla serie trasformata; alla fine la previsione va riportata alla scala originale.

Modelli AR, MA e ARMA

Autoregressive Models AR(p)

Definizione

Un modello AR(p) prevede il valore futuro come combinazione lineare degli ultimi p valori osservati, piu una costante e un errore casuale.

Formula intuitiva:

y_t = c + phi_1 y_{t-1} + ... + phi_p y_{t-p} + epsilon_t

In pratica: AR assume che il passato recente contenga informazione utile sul prossimo valore. Un AR(2), per esempio, guarda agli ultimi due periodi.

Quando usarlo:

  • serie univariate;
  • senza trend e senza stagionalita evidente;
  • processo gia stazionario o reso stazionario con preprocessing.

Limite principale

AR cattura solo relazioni lineari tra valori passati. Se la dinamica e stagionale, non lineare o guidata da variabili esterne, AR da solo e spesso insufficiente.

Moving Average Models MA(q)

Definizione

Un modello MA(q) prevede il valore futuro usando la media della serie e una combinazione lineare degli ultimi q errori di previsione.

Formula intuitiva:

y_t = mu + theta_1 epsilon_{t-1} + ... + theta_q epsilon_{t-q} + epsilon_t

In pratica: MA non guarda direttamente ai valori passati, ma agli errori recenti. Se il modello ha sottostimato negli ultimi periodi, puo correggere la previsione successiva.

Esempio: in una serie di vendite, un errore positivo ripetuto puo indicare che il modello sta sistematicamente prevedendo troppo poco. MA usa questa informazione per aggiustare il prossimo forecast.

ARMA(p,q)

Definizione

Un modello ARMA(p,q) combina una componente autoregressiva AR(p) e una componente moving average MA(q).

In pratica: ARMA usa sia i valori passati sia gli errori passati. E piu flessibile di AR o MA separati, ma richiede comunque una serie stazionaria.

Regola pratica

Se la serie e leggermente sotto-differenziata, aggiungere termini AR puo aiutare. Se e leggermente sovra-differenziata, aggiungere termini MA puo migliorare il risultato.

ARIMA e SARIMA

ARIMA(p,d,q)

Definizione

ARIMA significa AutoRegressive Integrated Moving Average. E un modello ARMA applicato a una serie differenziata, quindi puo gestire trend tramite il parametro d.

I parametri sono:

  • p: numero di lag autoregressivi.
  • d: numero di differenziazioni applicate alla serie.
  • q: numero di errori passati nella componente moving average.

In pratica: ARIMA risponde alla domanda: dopo aver rimosso trend o crescita sistematica, quali pattern rimangono nei valori e negli errori passati?

Esempio

ARIMA(1,1,1) usa una differenza prima (d = 1), poi modella la serie trasformata con un lag AR e un lag MA. Se d = 0, ARIMA coincide con ARMA.

SARIMA

Definizione

SARIMA estende ARIMA includendo componenti stagionali. La notazione e SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)m, dove m e la lunghezza della stagione.

In pratica: se una serie mensile ha pattern annuali, m = 12. I parametri P, D, Q descrivono autoregressione, differenziazione e media mobile sulla scala stagionale.

Quando usarlo:

  • dati con trend e stagionalita;
  • domanda, vendite o traffico con cicli settimanali, trimestrali o annuali;
  • serie univariate in cui la stagionalita e stabile.

Difficolta

L’identificazione del modello SARIMA puo essere complessa: aumentano i parametri e cresce il rischio di overfitting, soprattutto con pochi dati.

Selezione e Valutazione dei Modelli

AIC e AICc

Definizione

L’Akaike Information Criterion (AIC) stima la qualita relativa di un modello bilanciando bonta di adattamento e numero di parametri.

Formula:

AIC = -2 log(L) + 2k

dove L e la massima verosimiglianza e k il numero di parametri stimati.

In pratica: tra piu modelli candidati, si preferisce quello con AIC minore. Non significa che il modello sia vero, ma che perde meno informazione rispetto agli altri candidati.

Campioni piccoli

Con pochi dati, AIC tende a scegliere modelli con troppi parametri. In questi casi si usa AICc, che aggiunge una penalita extra per la complessita.

Metriche di Accuratezza

Definizione

Le metriche di accuratezza misurano quanto le previsioni si discostano dai valori reali.

Metriche principali:

  • BIAS: media degli errori; indica sovra o sottostima sistematica.
  • MAD/MAE: media degli errori assoluti; misura l’errore medio in scala originale.
  • MSE: media degli errori quadratici; penalizza molto gli errori grandi.
  • RMSE: radice del MSE; torna nella scala dei dati.
  • MAPE: errore percentuale medio assoluto; utile per confrontare serie su scale diverse.

Scelta pratica

Usa MAE o RMSE per leggere l’errore nella scala del problema. Usa MAPE quando serve una lettura percentuale, ma fai attenzione a valori reali vicini a zero.

Diagnostica dei Residui

Definizione

I residui sono gli errori lasciati dal modello: valore reale meno valore previsto.

Un buon modello dovrebbe lasciare residui simili a rumore:

  • media circa zero;
  • varianza abbastanza uniforme;
  • distribuzione ragionevolmente normale, se il modello lo assume;
  • assenza di autocorrelazioni significative.

Segnale di modello incompleto

Se l’ACF dei residui mostra autocorrelazioni importanti, significa che esistono pattern temporali non catturati. In quel caso bisogna rivedere lag, differenziazione, stagionalita o variabili esterne.

Estensioni Pratiche

LASSO per il Forecasting

Definizione

LASSO e una regressione con regolarizzazione L1 che puo ridurre alcuni coefficienti a zero, svolgendo selezione automatica delle variabili.

In pratica: per usarlo nel forecasting si trasforma la serie in un problema supervisionato. Ogni riga contiene lag passati come feature, e il target e il valore futuro.

Esempio: con un modello basato su 12 lag, LASSO puo decidere che solo alcuni mesi precedenti sono davvero utili per prevedere il prossimo valore.

SARIMAX

Definizione

SARIMAX estende SARIMA includendo variabili esogene, cioe sequenze esterne osservate sugli stessi istanti temporali della serie da prevedere.

In pratica: la serie principale e endogena; le variabili esterne sono input aggiuntivi. Per esempio, le vendite possono dipendere non solo dai valori passati, ma anche da prezzo, promozioni o meteo.

Note

SARIMAX prevede una sola serie principale, ma la arricchisce con regressori esterni. Le variabili esogene non vengono modellate come processo AR/MA interno: vengono usate direttamente come predittori.

ARCH e GARCH

Definizione

ARCH e GARCH modellano la volatilita variabile nel tempo, cioe il fatto che la varianza degli errori non sia costante.

In pratica: sono particolarmente utili in finanza e rischio operativo, dove non interessa solo prevedere il livello futuro, ma anche quanto potrebbe oscillare.

Esempio

In una serie di rendimenti finanziari, periodi tranquilli e periodi turbolenti tendono a raggrupparsi. ARCH/GARCH cerca di prevedere questa volatilita condizionata.

Smoothing Esponenziale e Theta

Simple Exponential Smoothing SES

Definizione

Il Simple Exponential Smoothing (SES) prevede il prossimo valore come media pesata esponenzialmente delle osservazioni passate.

Il parametro alpha controlla il peso del passato recente:

  • alpha vicino a 1: il modello reagisce molto agli ultimi dati.
  • alpha vicino a 0: il modello considera di piu la storia lunga.

Quando usarlo: serie univariate senza trend e senza stagionalita. Se c’e trend, SES tende a inseguire la serie con ritardo.

Holt-Winters Exponential Smoothing HWES

Definizione

Holt-Winters Exponential Smoothing estende lo smoothing esponenziale includendo livello, trend e stagionalita.

Parametri principali:

  • alpha: smoothing del livello;
  • beta: smoothing del trend;
  • gamma: smoothing della stagionalita.

Trend e stagionalita possono essere:

  • additivi, se l’effetto ha ampiezza circa costante;
  • moltiplicativi, se l’effetto cresce con il livello della serie.

Regola pratica

Se i picchi stagionali crescono quando cresce il livello della serie, valuta una stagionalita moltiplicativa. Se i picchi restano simili in valore assoluto, valuta una stagionalita additiva.

Theta Model

Definizione

Il Theta model combina due linee: una mantiene la struttura originale della serie, l’altra enfatizza il trend di lungo periodo. Le previsioni vengono poi combinate.

In pratica: e un metodo semplice ma competitivo per forecasting, soprattutto quando si vuole un modello robusto senza costruire manualmente un ARIMA complesso.

Il processo tipico e:

  • verificare e rimuovere eventuale stagionalita;
  • stimare una componente di trend;
  • applicare smoothing esponenziale;
  • ricomporre la previsione finale.

Workflow Operativo

Note

Un modello predittivo utile non nasce solo dalla scelta dell’algoritmo: nasce da una sequenza ordinata di preprocessing, stima, controllo e valutazione.

Procedura consigliata:

  • Ispeziona la serie: cerca trend, stagionalita, outlier e cambi strutturali.
  • Preprocessa se necessario: log, differenze, differenze stagionali.
  • Scegli candidati: AR, MA, ARMA, ARIMA, SARIMA, SARIMAX, smoothing.
  • Imposta i parametri: usa Box-Jenkins, grid search o strumenti come auto_arima.
  • Valuta l’accuratezza: confronta forecast e test set con MAE, RMSE, MAPE e BIAS.
  • Controlla i residui: se rimane struttura nei residui, il modello non ha catturato tutto.
  • Comunica incertezza: quando possibile, accompagna il forecast con intervalli di previsione.

Caso operativo

Per prevedere vendite trimestrali con stagionalita, partirei da SARIMA o Holt-Winters. Se conosco promozioni e prezzi futuri, passerei a SARIMAX per includere queste informazioni esterne.

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